Deux voies pour une impasse
1.0.8. Expérimentalement
Toutes les expériences récentes destinées à démontrer empiriquement une préférence pour les rectangles d'or ont eu un résultat négatif. (Godkewitsch, 1974; Markowsky, 1992).
Les rectangles des nouvelles technologies ne sont pas exactement des rectangles d'or
- La carte bleue
- Les écrans d'ordinateur, de télévision
1.0.9. Conclusion
La section d'or exprime dans la nature des contraintes. Par exemple en phyllotaxie, l'optimisation de l'ensoleillement passe par un angle d'or (travaux de H. Vogel, 1979)
Dans le monde humain il est surtout lié à la mesure
- COUDEE = PIED + EMPAN
- PIED = EMPAN + PALME
- EMPAN = PALME + PAUME
dans tous les cercles :-)
2.0.2. Mention chez Aristote
si la diagonale du carré est commensurable avec son côté, il s’ensuit que le même nombre est pair et impair
Aristote, Premiers Analytiques, I, 23,41a26-7
2.0.3. Une crise est ouverte
Au lieu de trouver une nouvelle réponse, elle découvre une nouvelle question: quel est le rapport entre le monde des choses et le monde des Idées (Il est possible de dessiner les diagonales des carrés alors qu'elles sont sans rapport au côté des carrés) ?
2.0.3.1. Le rapport entre le monde des choses et le monde des Idées semble incompréhensible!
Avec la prédiction de Thalès, on pensait pouvoir deviner le monde: le monde et l'esprit humain semblent parents.
Avec la découverte des irrrationnelles on se désespère: le monde contient des choses (élémentaires!) qui sont sans rapport
2.0.4. C'est un séisme!
Une autre façon d'exprimer cette crise est de montrer comment Héraclite et Parménide rencontrent, par deux voies différentes, la même impasse
Les deux traditions, celle de l'Italie du Sud, et celle d'Asie mineure, vont parvenir à la même conclusion: nous ne pouvons pas penser le mouvement
En deux mots:
3.1.1. Héraclite
Meurt en 480 (l'année où Anaxagore arrive à Athènes)
L'affirmation de l'unité (avant Parménide) et de l'ordre du monde.
Héraclite disait: "si le Soleil s'avisait de franchir les bornes qui lui sont proscrites, les Érynnies, agents de la Justice, sauraient bien lui faire rebrousser chemin."
Plutarque
Mobilisme
On ne se baigne jamais deux fois dans le même fleuve.
La guerre est la père de tout, et de toute chose.
Le plus beau singe est laid en regard du genre humain. L’homme le plus sage parait un singe devant Dieu.
cité par Platon, Hippias majeur, 289 a et b
Les mots échouent à désigner les choses.
3.1.2. Héraclite
Le logos : l'ordre divin, ce qui est toujours, les hommes sont incapables de le comprendre.
Le mouvement, on n'en sort pas
3.2.1. Parménide
C'est le premier à affirmer que la terre est sphérique. (Diogène Laërce, Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres IX, 21)
L'être est, le non-être n'est pas.
Car le pensé et l’être sont une même chose.
L'être est Un
Remarque: un des dialogues de Platon, le Parménide met en scène Parménide dialoguant avec Socrate. Mais Socrate - même jeune - n’a probablement pas pu croiser la route du véritable Parménide. Le dialogue est donc avant tout une conversation philosophique fictive entre deux penseurs.
3.3.1. Les antinomies de Zénon
Elève de Parménide Aristote le présente comme le père de la dialectique (ce qui n'est pas rien).
Deux exemples de formulations
3.3.1.1. La flèche n'atteint jamais sa cible
Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin, Il lui en reste une autre moitié à parcourir. La flèche n'atteindra jamais sa cible...
3.3.1.2. Achille ne rattrape jamais la tortue
La tortue est partie en avance (eh, oui!) Elle est déjà loin lorsque Achille se met à courir. Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin. Chaque fois que Achille passe par le point où se trouvait la tortue, celle-ci, pendant ce temps, progresse... Achille ne rattrapera jamais la tortue...
3.3.2. Attention au contresens
Les éléates ne disent pas que le mouvement est impossible!
Ils savent bien
- que les flèches arrivent sur leur cible...
- que les lièvres peuvent doubler les tortues, etc.
Ils proposent un défi: comprendre pourquoi le discours, le logos, ne peut-il décrire correctement le mouvement ?
Si nous parvenons à comprendre pourquoi... nous trouverons indirectement le rapport qui nous manque!
3.3.4. Si nous pouvons relever le défi
Le mouvement devient impensable.
Il sera impossible de faire de la physique.
Nous vivons dans deux mondes hétérogènes qui ne sont pas fait pour se recontrer. On ne comprend pas le rapport entre le monde des idées et le monde des choses.
3.3.5. Aristote flaire la solution
Aristote comprendra, avec les mots de la philosophie, que ce qui est continu pose problème.
Il proposera un vocabulaire pour continuer à parler du monde et du mouvement, de ce qui change: la puissance et l'acte.
De la continuité; le continu ne peut pas se composer d'Indivisibles ; la ligne et le point. — Objections et théories contraires: la grandeur, le temps et le mouvement doivent se composer d'indivisibles; démonstrations particulières de ces trois propositions — Démonstrations en sens contraire; rapports de la grandeur et du temps; les conditions qui les régissent sont identiques. Tout continu a nécessairement des parties divisibles à l'infini.
§ 1. Si la continuité, le contact et la consécution sont bien ce qu'on a dit plus haut, et si l'on entend par continus les corps dont les extrémités sont réunies, par contigus ceux dont les extrémités sont ensemble dans un même lieu, et par consécutifs ceux entre lesquels il n'y a rien d'intermédiaire qui leur soit homogène, il s'ensuit qu'il est impossible qu'aucun continu se compose d'indivisibles, et, par exemple, que la ligne se compose de points, puisque la ligne est continue et que le point est indivisible. Car, d'abord, les extrémités des points ne sont pas réunies, attendit que dans l'indivisible il ne peut y avoir ni extrémités, ni telle autre partie quelconque. Eu second lieu, les extrémités des points ne sont pas non plus ensemble dans l'espace, puisqu'il n'y a pas d'extrémité possible pour ce qui est sans parties, et qu'autre est l'extrémité, autre est la chose qui a cette extrémité.
Aristote, Physique VI, DE LA DIVISIBILITÉ DU MOUVEMENT.
Un mathématicien dirait devant ce texte: mais ce sont des maths!
3.3.5.1. Georg Cantor va découvrir, en mathématiques, ce qui se cache derrière les antinomies de Zénon.
Il y a des infini plus grands que d'autres! Jusqu'à Cantor on n'avait fait que jouer avec l'infini (Euclide avait affronté les incommensurables, Newton et Leibniz avaient mis au point le calcul infinitésimal).
3.4.1. Cantor
Cantor est le fondateur de la théorie des ensembles.
Quelle est découverte de Cantor ?
Il y une infinité d'infinis, il y a des infinis plus grands que d'autres. Il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles
3.4.2. La notion de bijection
Deux ensembles ont le même cardinal, quand on peut les marier (marier leurs éléments deux à deux).
3.4.3. Et avec l'infini ?
Galilée avait déjà observé une chose bizarre: il y a autant de carrés que d'entiers.
Pourtant l'ensemble des carrés est compris strictement dans l'ensemble des entiers.
3.4.7. Il y a plus de réels que d'entiers
On a vu que
a même cardinal que 
;
a même cardinal que .
On dira que 
et sont dénombrables (on peut les compter avec des entiers).
n'est pas dénombrable.3.4.8. Quid de Zénon ?
Zénon avait raison: on ne peut dénombrer un continu.
Mais l'on comprend maintenant le rapport entre ces infinis.
3.4.9. L'ensemble des parties d'un ensemble
L'ensemble des parties d'un ensemble est plus grand que cet ensemble...
Il y a donc une infinité d'infinis.
Je le vois, mais je ne le crois pas (lorsqu'il mettra en correspondance le plan et la droite)
Cantor Lettre à Dedekind, cité par Jean Cavaillès, philosophie mathématiques, p. 211.
4.0.1.1. Comment penser les choses qui changent avec des choses qui ne changent pas ?
Les présocratiques vont proposer une solution de repli:
- chercher le rapport entre ce que l'on perçoit et le mécanisme de la perception.
- Empédocle
- Anaxagore
- Démocrite
Il vont essayer de rendre raison des apparences.
4.0.3. L'atomisme: pas si simple!
- Y a-t-il du vide ?
- Comment le mouvement est-il possible
- Les tourbillons
4.0.4. Démocrite et après ?
- Démocrite
- Epicure
- Lucrèce
- Gassendi, Galilée
- Marx & Engels
Descartes s'opposera à l'atomisme.
4.0.5. L'univers d'Anaxagore
- "Tout est dans tout"
Lucrèce ironisera sur ses théories
Leibniz le prendra au sérieux
